ユークリッド幾何から近代幾何へ　〜ターレスが教えてくれる幾何の真髄〜

『幾何学原論』は紀元前3世紀にユークリッドによって編纂された幾何学のバイブルとして知られています。点や線、平行、直角といった小学校以降どこかしらで学んできた幾何学の決まり事が記されています。本書は、幾何の原点である古代ギリシャにさかのぼり、数学の祖であり、哲学の生みの親と言われるタレスの子孫ターレスと二人の学徒による議論を織り交ぜながら、公準から命題を順に追っていきます。 歴史や地理的な背景を踏まえつつ、ユークリッド幾何学の論証を手本として近代幾何学への発展、今日にいたる幾何学の源流はもちろん、幾何学の命題の見つけ方もわかりやすく解説しています。 第1章 ユークリッドの平面幾何 1.1 原論1巻とユークリッド精神 1.2 原論2巻 1.3 原論3巻 1.4 原論4巻 第2章 ユークリッド幾何の発展 2.1 6巻と古代ギリシャ数学 2.2 エウドクソスとX2巻 2.3 プラトンとX3巻 2.4 古代ギリシャのパップス 2.5 ユークリッド後の平面幾何 第3章 球面幾何 3.1 球面上の測地線 3.2 球面三角形 3.3 球面三角法の基本公式 3.4 球面三角形の5心 3.5 球面三角形の面積 3.6 平面上の球面モデル 第4章 双曲幾何 4.1 双曲幾何に向けて 4.2 擬球上の幾何 4.3 ポアンカレの上半平面モデル 4.4 複比，一次変換，反転 4.5 上半平面モデル上の一次変換 4.6 上半平面モデルでの距離 4.7 双曲幾何の三角法 4.8 ポアンカレモデルでの平行角 4.9 双曲幾何のガウスーボンネの定理 4.10 ポアンカレの単位円板モデル 4.11 双曲円 4.12 方べきの定理 4.13 双曲三角形の4心 4.14 三つの双曲幾何モデルの対応 第5章 ガウスの曲面論 5.1 平面曲線 5.2 空間での曲面 5.3 計量とガウス曲率 5.4 計量と双対性 5.5 エルランゲン・プログラム